Para Além da Terceira Dimensão
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Fatias de um hipercubo tetradimensional

Este filme mostra-nos uma projecção ortogonal do hipercubo quando se olha directamente para um dos seus vértices (i.e., na extremidade duma grande diagonal, veja os filmes das projecções dos cubos para obter mais informação sobre as diferentes vistas do cubo). Neste filme, o hipercubo é seccionado paralelamente a uma das suas faces cúbicas. A fatia inicial é um cubo completo, depois esta fatia parece, ao longo do filme, sofrer uma translação na direcção do cubo oposto. Durante as fases intermédias cada face da fatia pertence a um dos seis cubos do hipercubo entre o cubo do topo e o da base. Assim, durante a sequência, cada face percorre um destes seis cubos.


 

Este filme mostra nos uma projecção ortogonal do hipercubo quando se olha directamente para um dos seus vértices (i.e., na extremidade de uma grande diagonal) enquanto que o hipercubo vai sendo cortado paralelamente a uma das suas faces cúbicas. A fatia inicial é simplesmente um quadrado. À medida que continuamos, o quadrado ganha profundidade e transforma-se numa caixa rectangular; este processo continua e, a meio caminho, o comprimento é igual ao da diagonal de uma das faces do cubo. Quatro lados da caixa cresceram desde de uma aresta através de uma série de rectângulos até ao maior rectângulo possível dentro de um cubo, à medida que estes lados atravessaram faces cúbicas do hipercubo. Note que cada uma das faces quadradas da caixa rectangular percorreu um cubo completo, para depois percor um outro. O processo continua até que a caixa rectangular perde espessura e transforma-se mais uma vez num quadrado. Cada um dos seus lados rectangulares percorreu uma face cúbica do hipercubo, enquanto que cada um dos lados quadrados percorreu duas faces cúbicas; assim, os oito cubos podem ser localizados nesta sequência.


 

Este filme mostra nos uma projecção ortogonal do hipercubo quando se olha directamente para um dos seus vértices (i.e., na extremidade de uma grande diagonal) enquanto o hipercubo vai sendo cortado paralelamente a uma das suas arestas. A fatia inicial é simplesmente uma aresta, mas, pertencendo a fatia a três faces cúbicas do hipercubo, a aresta transforma-se num prisma triangular, os seus três lados rectangulares percorrem os três cubos que contêm a aresta inicial. Cada vértice do hipercubo pertence a quatro cubos, assim, em cada extremidade da aresta inicial, existe mais um cubo; as faces triangulares emergem destes cubos à medida que eles vão sendo fatiados na direcção de um vértice. Este prisma cresce até ao ponto em que os triângulos de cima e de baixo estão a um terço de atravessar o cubo respectivo. A partir deste ponto os triângulos são truncados e transformam-se em hexágonos. A fatia do hipercubo é agora um prisma hexagonal. Os três lados rectangulares originais do prisma cresceram até à sua dimensão máxima à medida que seccionam os cubos respectivos, encolhendo depois em largura. Neste momento a fatia principia a entrar dentro de três cubos adicionais com aresta primeiro, acrescentando três lados, formando o prisma hexagonal. Estes lados aumentam a sua dimensão à medida que os originais vão encolhendo, o prisma transforma-se num prisma triangular quando a fatia passa por mais três vertices do hipercubo. Finalmente o prisma encolhe de modo a transformar-se na aresta oposta à original.


 

Este filme mostra-nos uma projecção ortogonal do hipercubo quando se olha directamente para um dos seus vértices (i.e., na extremidade de uma grande diagonal) enquanto o hipercubo vai sendo cortado, começando pelo vértice. A primeira fatia começa por ser um tetraedro no centro da imagem. Cada face deste é uma fatia de uma das arestas de um dos quatro cubos que se encontram neste vértice. Estas faces crescem até intersectarem quatro dos vértices do hipercubo. Neste instante os cantos do tetraedro começam a ser cortados à medida que a fatia começa a atravessar os outros quatro cubos no hipercubo. Entretanto, as faces triangulares originais transformam-se em hexágonos, enquanto deslizam através dos quatro cubos originais. A meio caminho relativamente a estes cubos (ou a um terço do caminho relativamente ao fatiamento do hipercubo), estas quatro cubos são cortados por hexágonos regulares, a fatia completa forma o sólido arquimediano conhecido como tetraedro truncado. Possui quatro faces hexagonais regulares e quatro faces triangulares regulares. Depois as faces hexagonais transformam-se em faces triangulares, e as faces triangulares pequenas aumentam em dimensão. A meio caminho do fatiamento do hipercubo, todas as oito faces são triângulos equiláteros, formando um sólido platónico--o octaedro. Neste instante os oito cubos do hipercubo são cortados exactamente da mesma maneira. Esta sequência repete-se em sentido contrario: do tetraedro truncado ao tetraedro, que encolhe para o vértice. O canto deste hipercubo também aparenta situar-se no centro da imagem, porque estamos a olhar ao longo da diagonal longa, assim, o ponto mais afastado e o mais próximo estão na mesma posição. Note também que o tetraedro final está invertido relativamente ao inicial.


 

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