Para Além da Terceira Dimensão
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Dobragem de cubos e hipercubos

Este filme mostra um cubo desdobrado (vermelho) no espaço, bem como a sua sombra bidimensional (rosa). O ponto branco ao cimo da imagem representa a fonte luminosa. Ao mesmo tempo que o cubo vermelho se dobra podemos acompanhar os resultados na sua sombra. Quando os lados do cubo se começam a dobrar para cima, as sombras destes quadrados tornam-se distorcidas. (uma aresta está mais perto da luz do que a sua oposta, projectando uma sombra maior). Quando as arestas dos quadrados se aproximam umas das outras no espaço, o mesmo sucede com as respectivas sombras. Depois a tampa do cubo toma a sua posição. Neste processo a sua imagem torna-se maior, quando se aproxima da luz, e vira-se ao contrário, mostrando o seu outro lado. Quando o cubo se fecha obtemos a imagem conhecida de um "quadrado dentro de um quadrado", que é o cubo em perspectiva.

Neste momento, rodamos tudo de forma a ver somente a sombra e temos de imaginar o cubo tridimensional cujo desdobramento causa estas projecções. Isto é um bom exercício para visualizar o desdobramento do hipercubo, que é o tema do filme seguinte.


 

Este filme mostra uma sequência análoga, das sombras tridimensionais de um hipercubo a dobrar-se no espaço tetradimensional. Assim como podemos visualizar um cubo a dobrar-se no espaço usando somente a sua sombra (como fizemos no fim do filme anterior), temos de usar estas sombras tridimensionais para imaginar o hipercubo a dobrar-se a quatro dimensões.

Começamos com oito cubos em forma de cruz. Algumas faces foram parcialmente removidas para permitir ver a estrutura interior. O cubo central (amarelo) será a base do hipercubo, sendo o roxo o topo. Os seis cubos restantes são as faces que ligam a base ao topo do hipercubo. Quando estas começam a dobrar-se no espaço tetradimensional, as suas sombras aparecem distorcidas (quando uma face dum cubo está mais próxima da luz, a sua sombra é maior). Depois as faces juntam-se umas às outras, como acontecia quando as faces do cubo se uniam. Agora só falta o topo tomar posição.

Quando o topo se dobra sobre o resto do hipercubo, fica maior (mais próximo da luz), e vira-se do avesso (deixamos de ver um lado dele para vermos o outro). Quando ele se ajusta à sua posição final, juntando-se às restantes seis faces, obtemos a familiar imagem "cubo dentro de cubo" de um hipercubo em perspectiva. O cubo pequena amarelo está mais afastado da fonte de luz, enquanto o cubo grande roxo está mais próximo. As restantes seis faces aparecem como troncos de pirâmides ligando as primeiras. Esta é a visão de cubos em perspectiva tetradimensional.


 

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