Para Além da Terceira Dimensão
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Rotação de cubos e hipercubos

Este filme mostra a sombra bidimensional de um cubo enquanto este roda. Duas das faces estão coloridas para ajudar a seguir as mudanças na sombra. No começo, o quadrado vermelho está mais próximo da fonte luminosa (ou do observador), parecendo maior, enquanto a face azul está mais longe, parecendo menor. Quando o cubo roda, a face azul parece mover-se para o lado e ambos os quadrados parecem deformados. No cubo, são ainda quadrados, mas na sombra a duas dimensões são trapézios. Acompanhando a rotação do cubo, o quadrado azul move-se para fora do vermelho, que, por sua vez, muda a face virada para nós. Quando as imagens das duas faces são dois trapézios iguais isso significa que elas são agora as partes laterais do cubo. Por fim a face azul vem para a frente, tornando-se maior que a vermelha que se deslocou para trás: elas trocaram de posição.

Podemos reconstruir facilmente o cubo nas nossas mentes a partir destas imagens. A parte mais dificil é pensar nelas como bidimensionais! Mas é exactamente isso que devemos fazer para poder dar sentido ao próximo filme, que nos mostra as sombras tridimensionais de um hipercubo a rodar em quatro dimensões.


 

Este filme mostra a sombra a três dimensões de um hipercubo tetradimensional. A imagem inicial é a de um cubo vermelho grande contendo um cubo menor azul (algumas faces foram removidas para podermos espreitar para a estrutura interior). O cubo vermelho, estando mais próximo da fonte luminosa (ou do observador), tem uma sombra maior. Quando a rotação começa, a face azul move-se para o lado e ambas ficam distorcidas, por uma se estar a afastar, e a outra a aproximar, da fonte de luz. A um dado momento a face azul passa completamente pelo lado da vermelha. O cubo vermelho fica mais estreito, por estar paralelo à direcção da luz, e depois parece do avesso, porque o ponto de vista tetradimensional muda de um lado dele para o outro. Outro momento dá-no uma visão simétrica dos cubos, estando um de cada lado do hipercubo, havendo outros dois à frente e atrás. A rotação continua mais 90 graus até que o azul passa para a frente, ficando grande, e o vermelho passa para trás, tornando-se pequeno. A sequência repete-se agora com as cores trocadas. Acabamos onde começámos, com a imagem de um cubo vermelho grande contendo um cubo azul pequeno.


 

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