A Matemática do Horizonte Matemático

O "Horizonte Matemático" é uma vista de uma esfera bidimensional imersa num espaço tetradimensional de forma a que exista um só ponto no qual a superfície se intersecta a si mesma. Para ver como isto funciona, comecemos por notar que as superfícies em espaços tetradimensionais se intersectam habitualmente em pontos em vez de em curvas, como é habitual em três dimensões. Por exemplo, tomando os eixos x, y, z, e w, os planos xy e zw são planos bidimensionais num espaço tetradimensional e intersectam-se num único ponto: a origem.

Para formar a esfera apresentada no "Horizonte Matemático", começámos por tomar o disco unitário no plano xy e o disco unitário no plano wz; como eles se intersectam num ponto único, formam a auto-intersecção essencial da superfície. O truque agora é ligar as fronteiras destes dois discos de maneira a formar uma esfera, e de forma a não produzir mais nenhuma auto-intersecção.

As fronteiras são dois círculos, que podem ser parametrizados por (cos $\theta$ , sin $\theta$ , 0, 0) e (0, 0, cos $\theta$ , sin $\theta$ ). Para um $\theta$ dado, estes dois pontos, juntamente com a origem, determinam o plano no espaço tetradimensional (basta pensar nos pontos como vectores com início na origem gerando o plano). Para valores de $\theta$ diferentes, estes planos intersectam-se apenas na origem, portanto se para cada $\theta$ unirmos os dois pontos fronteiros por uma curva sobre o plano, juntámos as fronteiras dos dois discos para formar uma esfera sem auto-intersecções adicionais, como pretendido.

Os dois pontos (cos $\theta$ , sin $\theta$ , 0, 0) e (0, 0, cos $\theta$ , sin $\theta$ ) podem ser juntos por arcos circulares (esquerda). Um oito suave pode substituir a curva composta (direita).

Notar que os dois pontos, quando considerados como vectores começando na origem, são vectores unitários perpendiculares, pelo que funcionam como eixos unitários x e y no plano xy. A intersecção do plano gerado por estes dois vectores e um dos discos é o segmento de -1 a 1 segundo o eixo x, e com o outro o segmento correspondente no eixo y. Estes dois segmentos formam uma "cruz" na origem. Uma forma natural de os ligar é por meio de dois arcos circulares, formando assim um oito com um eixo de simetria ao longo da linha y = x. Uma versão composta da esfera bidimensional no espaço tetradimensional pode ser produzida desta maneira. Por outro lado, podemos formar uma versão regular da superfície se partirmos de um oito regular (em vez de um definido por segmentos).

A equação (cos t, sin 2t) parametriza um oito que possue como eixo de simetria o eixo x, enquanto que a equação (cos t,(1/2) sin 2t) = (cos t, sin t cos t) = cos t (1, sin t) é esteticamente mais agradável, pois os lóbulos do oito são mais arredondados e cruzam-se num ângulo de 90 graus. A rotação de 45 graus desta curva em torno da origem porduz um oito suave com eixo de simetria segundo a linha y = x e intersecção tangente aos eixos x e y, como pretendido. Usando uma matriz de rotação standard com ângulo $\phi$ = $\pi$ /4, obtemos

$(x,y) = \begin{pmatrix} \cos\phi& -\sin\phi\\ \sin\phi& \cos\phi\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos t\\ \cos t\sin t\end{pmatrix} = \frac{\sqrt2}2 \cos t \begin{pmatrix}1 - \sin t\\1 + \sin t\end{pmatrix}$

Escrevendo isto em notação vectorial, fica

$(x,y) = \frac{\sqrt2}2\cos t[(1-\sin t)(1,0) + (1+\sin t)(0,1)].$

Agora, a substituição dos vectores (1,0) e (0,1) pelos dois vectores da fronteira dos discos no espaço tetradimensional fornece uma parametrização suave da esfera bidimensional no espaço tetradimensional por t e $\theta$ com exactamente um ponto de auto-intersecção transversal:

$(x,y,z,w) = \frac{\sqrt2}2 \cos t [(1-\sin t) (\cos\theta, \sin\theta, 0, 0) + (1+\sin t) (0, 0, \cos\theta, \sin\theta)].$

Note-se que esta superfície está dentro da esfera unitária no espaço tetradimensional e toca a esfera unitária quando t = 0, nomeadamente ao longo da curva

$(x,y,z,w) = \frac{\sqrt2}2 (\cos\theta, \sin\theta, \cos\theta, \sin\theta)$

um círculo na esfera tetradimensional. A imagem apresentada em "Horizonte Matemático" é a projecção estereográfica desta superfície a partir do ponto neste círculo onde $\theta$ = 0. Como a superfície passa através do ponto de projecção, a sua imagem parece prolongar-se até ao infinito no espaço tridimensional. Foram removidas algumas bandas da superfície para ajudar a visualização da sua estrutura e parametrização.