As três Tetravistas mostradas na exposição são uma tentativa para entender melhor gráficos de funções complexas. O gráfico duma função de variável complexa está no espaço complexo bidimensional, que pode ser identificado naturalmente com o espaço real tetradimensional. Ou seja, se z = x + iy e w = f(z) = u + iv, então o ponto (z,f(z)) do gráfico de f pode ser tomado como sendo (x,y,u,v) no espaço tetradimensional, e assim o gráfico é uma superfície nesse espaço. Como se pode estudar esta superfície?
Antes de responder a esta questão, pensemos primeiro como podemos compreender um objecto no espaço tridimensional, por exemplo, um cubo com vértices em ( ± 1, ± 1, ± 1). Há três vistas matematicamente naturais deste cubo no espaço tridimensional: uma olhando para ele a partir de um ponto situado na parte positiva do eixo dos xx, outra segundo o semi-eixo positivo dos yy e a terceira similar para o eixo dos zz. Em cada uma das três vistas, o que se obtém é uma das faces quadradas do cubo (mas uma face diferente de cada vez). Claro que há muitas outras vistas do cubo, pois há muitas outras direcções de onde se pode olhar para ele. Uma maneira de pensar nessas direcções é imaginando uma grande esfera envolvendo o cubo; cada ponto da superfície dessa esfera representa um ponto de vista diferente, e portanto uma vista diferente do cubo. As três vistas descritas acima correspondem aos pontos onde os semi-eixos coordenados positivos intersectam a superfície da esfera.
Estes três pontos formam os vértices dum triângulo esférico, e podemos perguntar: Que vista se tem observando o cubo de diferentes pontos desse triângulo? Se nos movermos ao longo dum lado do triângulo, de um vértice para outro, passamos duma situação em que vemos uma face do cubo para uma em que vemos outra face. As nossas vistas intermédias neste percurso mostram uma face diminuindo até se confundir com uma aresta, enquanto a outra vai aumentando até ser a única que se vê. Isto corresponde a uma rotação do cubo em torno do eixo que passa pelo vértice oposto à aresta que atravessamos; desta forma, a cada aresta corresponde a uma rotação em torno dum dos eixos. No meio caminho entre dois vértices do triângulo esférico, a nossa vista está directamente sobre uma das arestas do cubo e ambas as suas faces adjacentes são vistas com o mesmo tamanho, apesar de nenhuma parecer quadrada nesta situação. Se virmos o cubo a partir do ponto central do triângulo esférico, estaremos a ver directamente sobre um canto do cubo, e novamente teremos uma vista simétrica (agora abrangendo as três faces distorcidas do cubo).
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| Três vistas do cubo: olhando directamente para uma face (esquerda), directamente para uma aresta (centro) ou directamente para um vértice (direita). Estas vistas correspondem a pontos de vista localizados em várias posições num triângulo esférico: num vértice, no centro de um lado ou no centro do triângulo. |
Agora suponhamos que o cubo é transparente e que colocamos um objecto no seu interior. Então as três vistas tomadas dos vértices do triângulo esférico mostram-nos as três vistas do objecto através dos lados do cubo (estas são como as três vistas de arquitectura: planta, alçado lateral e alçado frontal). Conforme nos vamos movendo ao longo dos lados do triângulo, rodamos entre estas vistas do objecto dentro do cubo (por exemplo, indo do alçado frontal para o alçado lateral). Olhando a partir do centro do triângulo podemos ver três lados do cubo duma vez, obtendo uma vista combinada que é, em certo sentido, uma média das outras três (e que corresponde ao desenho em perspectiva que um arquitecto faz duma casa).
As tetravistas fazem a mesma coisa no espaço tetradimensional. O cubo agora é um hipercubo a quatro dimensiões (é transparente, pelo que não aparece nas imagens), e o objecto no seu interior é o gráfico duma função complexa. Os pontos de vista diferentes assentam sobre uma grande esfera no espaço tetradimensional que contém o hipercubo, e como há quatro eixos, estes intersectam a esfera em quatro pontos. Estes pontos formam os vértices de um tetraedro esférico na esfera (donde o nome "tetravista"). As quatro vistas dos cantos deste tetraedro representam projecções do gráfico da função segundo cada um dos eixos coordenados. Estas são mostradas na figura nos quatro cantos da imagem e são arrumados de forma a sugerir um tetraedro: dois estão mais longe, atrás (inferior esquerdo e superior direito), enquanto outros dois estão próximos, à frente (superior esquerdo e inferior direito). Os cantos de trás são as projecções nos espaços xyu e xyv, e portanto representam os gráficos das partes real e imaginária da função, enquanto que os outros dois cantos são projecções nos espaços xuv e yuv, que representam as partes real e imaginária da função inversa. A imagem central é a vista do centro do tetraedro esférico, representando uma combinação das outras quatro, a vista mais geral da superfície no espaço tetradimensional.
Como no triângulo esférico no espaço tridimensional, os caminhos ao longo dos lados do tetraedro esférico representam rotações da superfície dentro do hipercubo. Esta ideia é explorada mais extensivamente no artigo "Understanding Complex Function Graphs", que inclui métodos interactivos para navegar entre as vistas tomadas do tetraedro esférico.
As superfícies mostradas nas três tetravistas correspondem à função quadrática complexa w = z2, função cúbica complexa w = z3 e função exponencial complexa w = ez. Para determinar as superfícies em termos das quatro coordenadas reais, usámos o facto de que z = x + iy, w = u + iv e i2 = - 1. Então para w = z2 temos
| w | = (x + iy)2 |
| = x2 + 2ixy + i2y2 | |
| = x2 - y2 + 2ixy, |
donde u = x2 - y2 e v = 2xy. Daqui temos o gráfico parametricamente como (x, y, x2 - y2, 2xy). As outras superfícies são tratadas de forma similar.