A Matemática de Dentro e Fora do Toro

Ao contrário dos toros no "Tríptico do Toro", esta é a projecção dum toro tetradimensional, definido parametricamente por (cos $\theta$ , sin $\theta$ , cos $\phi$ , sin $\phi$ ). Note-se que isto representa o produto cartesiano de duas circunferências, uma nas duas primeiras coordenadas e outra nas duas restantes. Notar também que cada ponto deste toro está à distância $\sqrt{2}$ da origem, pelo que todo o toro está numa esfera de raio $\sqrt{2}$ no espaço tetradimensional. (De facto, este toro divide a esfera em dois toros sólidos congruentes.) A projecção estereográfica a partir do ponto (0, 0, 0, $\sqrt{2}$ ) do espaço tetradimensional fornece uma imagem do toro no espaço tridimensional, e, como as projecções estereográficas transformam circunferências em circunferências, a imagem do toro obtida por esta transformação deve ser um toro de revolução. Todavia, em comparação com a parametrização usada no "Tríptico do Toro" esta tem a interessante propriedade de ser uma transformação conforme do plano ( $\theta$ , $\phi$ ) no toro de revolução.

Um toro projectado a partir do espaço tetradimensional pode ser visto como um toro de revolução (esquerda). Se uma parte dele estiver mais próxima do ponto de projecção, uma parte parece mais larga, e o objecto forma uma cíclide de Dupin.

Se rodarmos o toro original no espaço tetradimensional antes de o projectar, a imagem muda: uma parte do toro desloca-se para mais perto do ponto de projecção, de forma que a sua imagem se amplia (tal como uma sombra se amplia se se aproximar um objecto da fonte de luz), e outra parte afasta-se do ponto de projecção, ficando com uma imagem menor. Na projecção do toro, veríamos uma parte do anel ficar mais espessa e outra mais delgada. O resultado é conhecido como cíclide de Dupin. (As superfícies de offset destas projecções são também cíclides, e mostra-se que todas as cíclides podem ser obtidas por este processo.) À medida que o toro continua a rodar, fica cada vez mais espesso dum lado e delgado doutro. Após uma rotação de 90 graus, o toro passa pelo ponto de projecção e a sua imagem parece estender-se até ao infinito; as imagens das duas circunferências geradoras do toro serão duas rectas no espaço tridimensional. (Outras duas circunferências no toro se transformam em rectas no espaço tridimensional: a curva (1,1), descrita abaixo, que passa pelo ponto de projecção, e de forma análoga a curva (1,-1).) Se o toro continuar a rodar, a sua imagem volta a ser um toro finito, mas o que antes estava fora do toro passa a estar dentro e vice versa; o toro no espaço tridimensional é "virado do avesso" ao passar pelo infinito.

A imagem "Dentro e Fora do Toro" representa a rotação de 90 graus, o ponto de transição em que o dentro e o fora se trocam. De facto, neste ponto, a imagem do toro divide todo o espaço tridimensional em duas partes congruentes, que são as imagens dos toros sólidos referidos antes, que formam a esfera tridimensional no espaço tetradimensional, tendo este toro como sua fronteira comum. Na figura, o observador está numa das partes congruentes (com o eixo do toro deslocando-se horizontalmente através do centro da imagem), e a outra parte está "atrás" da superfície (com o eixo passando verticalmente através do centro). Uma rotação do espaço tridimensional em torno de uma linha diagonal do canto superior esquerdo para o inferior direito trocaria as duas partes congruentes. Na imagem mostrada são removidas bandas do toro para ajudar a ver a estrutura. As bandas são formadas por vizinhanças das curvas (1,1) do toro, que são as imagens de curvas da forma $\theta$ = $\phi$ + c no plano ( $\theta$ , $\phi$ ).

Para os interessados em produzir imagens semelhantes, descrevemos a projecção esterográfica e as rotações no espaço tetradimensional com maior pormenor. A projecção esterográfica a partir do ponto (0,0,0,d) é a aplicação

$p_d: \mathbb{R}^4 \mapsto \mathbb{R}^3$

dada por

$p_d(x,y,z,w) = \frac{d}{d-w}(x,y,z)$

para todos os pontos em que $w\ne d$ . No nosso caso, d = $\sqrt{2}$ . Como as rotações no plano xy, as rotações no espaço tetradimensional podem ser representadas por multiplicação de matrizes. Por exemplo, uma rotação no plano xw segundo um ângulo $\psi$ é dada pela aplicação

$R_\psi(x,y,z,w) = \begin{pmatrix}\cos\psi& 0& 0 &-\sin\psi\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ \sin\psi& 0& 0& \cos\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}$

A composição destas duas aplicações com a parametrização do toro acima dá a série de figuras aqui descritas (quando $\psi$ varia de 0 a 90 graus e continua).