A Matemática do Tríptico do Toro

Um toro pode ser gerado por uma circunferência em rotação em torno dum eixo assente no plano da circunferência e que não a intersecta. Podemos produzir equações paramétricas dum toro de revolução assim gerado do seguinte modo: se considerarmos uma circunferência de raio b no plano xz, centrada no ponto (x, z) = (a, 0) do eixo x, então os pontos da circunferência são dados por (x, z) = (a + b cos $\theta$ , b sin $\theta$ ). Se rodarmos esta circunferência em torno do eixo z, cada ponto (x, z) na circunferência original traça uma nova circunferência num plano paralelo ao plano xy; o raio desta nova circunferência será x (a distância do ponto original ao eixo z), e a cota do plano que contém a nova circunferência será z. Isto significa que a nova circunferência pode ser parametrizada por (x cos $\phi$ , x sin $\phi$ , z). Deixando (x, y) percorrer toda a circunferência original, obtemos uma parametrização do toro:

T( $\theta$ , $\phi$ ) = ((a + b cos $\theta$ ) cos $\phi$ , (a + b cos $\theta$ ) sin $\phi$ , b sin $\theta$ ).

No "Tríptico do Toro" usámos a = $\sqrt{2}$ e b = 1. Este toro básico foi rodado para três posições diferentes e então cortado por planos horizontais a várias cotas para se obterem as três sequências apresentadas. A sequência de baixo (em azul) mostra um corte particularmente interessante na segunda imagem. Aqui, o plano horizontal intersecta o toro em duas circunferências de igual raio que se intersectam.