A Matemática dos Laçarotes

Tal como as Tetravistas de z² e de z³, também as imagens "Laçarote de z²" e "Laçarote de z³" mostram vistas das funções complexas quadrática e cúbica. A sequência começa com o gráfico da parte real da função (vista de cima, ou seja, segundo o eixo u, de forma que se vê simplesmente um disco no plano xy) e termina com o gráfico da parte real da relação inversa (vista segundo a parte negativa do eixo x, de forma que se vê um disco dupla ou triplamente coberto no plano uv). As imagens intermédias mostram vistas após uma rotação da superfície de um ângulo $\theta$ em ambos os planos xv e yu, para vários valores de $\theta$ entre 0 e 90 graus. Como projecção no plano, cada vista tem simetria de ordem três ou simetria de ordem quatro. Na galeria online podem ver-se filmes que mostram as sequências completas a que pertencem cada uma das cinco figuras dos dois Laçarotes.

Uma maneira de ver a simetria é estudar a fronteira do disco unitário no plano xy. Este pode ser parametrizado por (x, y) = (cos t, sin t). Como já mostrámos na discussão das Tetravistas que a função quadrática complexa tem o gráfico (x, y, x²-y², 2xy), resulta que a imagem desta circunferência é

(cos t, sin t, cos² t - sin² t, 2 cos t sin t) = (cost, sint, cos 2t, sin 2t).

Rodando isto por um ângulo $\theta$ nos planos xv e yu, temos

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & 0 & 0 & \sin\theta\\0 & \cos\theta & \sin\theta & 0\\0 & -\sin\theta & \cos\theta & 0\\-\sin\theta & 0 & a0 & \cos\theta\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos t\\ \sin t\\ \cos 2t\\ \sin 2t\end{pmatrix}$

Multiplicando as matrizes e tomando a projecção ortogonal no plano xy obtém-se a curva

(x, y) = (cos $\theta$ cos t + sin $\theta$ sin 2t, cos $\theta$ sin t + sin $\theta$ cos 2t),

que é igual a

(x, y) = cos $\theta$ (cos t, sin t) + sin $\theta$ (sin 2t, cos 2t).

Traçando esta curva vê-se que ela tem de facto a desejada simetria de ordem três. Deixa-se como exercício ao leitor verificar que esta curva é uma hipociclóide formada por uma pequena circunferência rodando no interior duma circunferência maior com raio triplo do seu (o que justifica a simetria de ordem três). O ponto que traça a ciclóide pode estar em qualquer posição ao longo do raio da circunferência pequena (na verdade pode até estar no prolongamento do raio, fora da circunferência). De facto, se o raio do círculo interior for 1, o ponto está a uma distância de 2 tan $\theta$ do centro da circunferência pequena.